PQRS is a cyclic quadrilateral. Find \(x + y\)

∠PQR + ∠PSR = 180o (opp. angles of cyclic quad. are supplementary)

⇒ 5x $\mathrm{<br>}$ - y $\mathrm{<br>}$ + 10 + (-2x $\mathrm{<br>}$ + 3y $\mathrm{<br>}$ + 145) = 180

⇒ 5x $\mathrm{<br>}$ - y $\mathrm{<br>}$ + 10 - 2x $\mathrm{<br>}$ + 3y $\mathrm{<br>}$ + 145 = 180

⇒ 3x $\mathrm{<br>}$ + 2y $\mathrm{<br>}$ + 155 = 180

⇒ 3x $\mathrm{<br>}$ + 2y $\mathrm{<br>}$ = 180 - 155

⇒ 3x $\mathrm{<br>}$ + 2y $\mathrm{<br>}$ = 25 ----- (i)

∠QPS + ∠QRS = 180o (opp. angles of cyclic quad. are supplementary)

⇒ -4x $\mathrm{<br>}$ - 7y $\mathrm{<br>}$ + 150 + (2x $\mathrm{<br>}$ + 8y $\mathrm{<br>}$ + 105) = 180

⇒ -4x $\mathrm{<br>}$ - 7y $\mathrm{<br>}$ + 75 + 2x�
 + 8y $\mathrm{<br>}$ + 180 = 180

⇒ -2x $\mathrm{<br>}$ + y $\mathrm{<br>}$ + 255 = 180

⇒ -2x $\mathrm{<br>}$ + y = 180 - 255

⇒ -2x $\mathrm{<br>}$ + y $\mathrm{<br>}$ = -75 ------- (ii)

⇒ y $\mathrm{<br>}$ = -75 + 2x $\mathrm{<br>}$ -------- (iii)

Substitute (-75 + 2x $\mathrm{<br>}$) for y $\mathrm{<br>}$ in equation (i)

⇒ 3x $\mathrm{<br>}$ + 2(-75 + 2x $\mathrm{<br>}$) = 25

⇒ 3x $\mathrm{<br>}$ - 150 + 4x $\mathrm{<br>}$ = 25

⇒ 7x
 = 25 + 150

⇒ 7x $\mathrm{<br>}$ = 175

⇒ x=1757=25 $\mathrm{<br>}=\frac{175}{7}=25$

From equation (iii)

⇒ y $\mathrm{<br>}$ = -75 + 2(25) = -75 + 50

⇒ y $\mathrm{<br>}$ = -25

∴ x $\mathrm{<br>}$ + y $\mathrm{<br>}$ = 25 + (-25) = 0